数学家如何通过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间

小编为您收集和整理了数学家如何通过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的相关内容：制图：OlenaShmahalo/QuantaMagazine来历：举世科学在数学中，无限的空间应当可以包容无限多的东西，从原子、细菌到无限多的行星都不在话下。可是，莫比乌斯环（Mbiusband）是

制图：Olena Shmahalo/Quanta Magazine

在数学中，无限的空间应当可以包容无限多的东西，从原子、细菌到无限多的行星都不在话下。可是，莫比乌斯环（Mbius band）是个破例。莫斯科州立大学的数学家Olga Frolkina最近证明了，闻名的莫比乌斯环不能被无限次地压缩进无限大的空间中。在这篇精（bu）彩（ming）纷（jue）呈（li）的文章中，你将看到数学家怎么经过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的问题。

不同的无限，巨细也不尽相同。从1到无穷大的自然数调集便是最小的无限之一。自然数的调集是可数的。任何一组无限的目标，例如将无限多的原子、行星放进三维空间里，它都是可数的。理论上，你可以给一切的行星编号。

有些数集太大而无法将其间的目标逐个列出。例如，实数包含数轴上的每一个点，乃至像这样古怪的、具有无尽不重复小数部分的点也在内。运用由19世纪德国数学家康托尔提出的对角化（diagonalization）论证法，咱们可以证明，即使是一个无限大的实数列表，也或许是不完整的。实数集显着大于自然数集。它是不行数的无限，或简称不行数。

变具象的数学

尽管如此，不行数的目标调集依然可以存在。幻想一下，怎么把一个不行数的圆筒调集塞进三维空间，而不让它们相互触摸。要做到这一点，你只需将一切的圆筒置于同一个轴上，使它们的直径别离对应于数轴上不行数点中的一个。这些圆筒会像一套数不尽的俄罗斯套娃，由内而外嵌套在一起。

乍一看，好像莫比乌斯环能以类似的办法嵌套在一起。可是假如你试着在一个莫比乌斯环里边嵌套第二个环，你会发现第二个环将在第一个环的外部闭合。

关于上述的圆筒，咱们很简单能区别它的内外侧。而这关于莫比乌斯环是不行能的，由于它是一类被称为非定向流形（non-orientable manifold）的有形数学目标当你绕着它在空间中转一圈时，是无法区别固定的内外侧的。

Frolkina尽管证明了莫比乌斯环无法像圆筒相同嵌套在一起，但并没有否定它们能以更奇妙的办法嵌套的或许性。这一证明的亮点在于，它向咱们展现了莫比乌斯环无法像圆筒那样嵌套的原因。

Frolkina的成果立足于一个名为点集拓扑学（point-set topology）的范畴。在上世纪50至60年代，数学家们相继证明了将一系列物体（例如圆盘、中空球体）嵌入进三维空间的理论。

可以说，研讨者们正在使笼统的数学变得具象。拓扑学有点像简化的几何学：重要的不是准确的形状和间隔，而是大规范的结构。

两种嵌入办法

在几何学中，球面是空间中与一个原点等距的一切点的调集，但在拓扑学中，将前面的结构随意揉捏、拉伸变形，只需不将其撕裂或许粘合，它都算是一个球面。在空间中准确定位拓扑球的办法被称为嵌入。一个球可以以许多不同的办法嵌入三维空间，不管是像肥皂泡相同的完美圆球形、延展成腊肠相同的形状，仍是像变形虫的细胞膜相同摇晃改变，只需这些形状满足球的界说即可。

上面比如中的嵌入被称为驯良嵌入（tame embedding）。驯良嵌入可以在整个空间内延展，因而拉伸或揉捏空间，可以使嵌入球面变为规范圆球形。

与此相对应，非驯嵌入（wild embedding）则很难可视化，一般需求运用无限来进行描绘。非驯嵌入版的球面无法经过空间变形转化成圆球形。

例如，为构建亚历山大带角球（Alexander horned sphere），首要需从一个类似于甜甜圈外表的圆环上切下一段，在堵截后留下的空地两边别离衔接两个互锁的圆环面，并如此重复：堵截每个次级圆环，刺进一对互锁的小圆环，随后堵截更小的圆环。无数次履行这个置换进程后，你就可以得到亚历山大带角球。尽管证明该目标在拓扑学上是一个球体并不繁琐，但它对错驯嵌入的。将它扩大后，你能在越来越小的规范上看到互锁的角。

非驯嵌入的亚历山大带角球

像亚历山大带角球那样的非驯嵌入很难被塞进空间里。早在20世纪中叶，数学家R.H.Bing就证明了假如嵌入是驯良的，就可以将不行数无限的球面和圆环面不堆叠地嵌入三维空间。可是，圆盘就大不相同了：将不行数的圆盘不堆叠地嵌入空间中是可行的，不管它们是否驯良。

三维与更高维度

那么莫比乌斯环可以像这样被嵌入空间中吗？1962年，俄罗斯数学家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov证明了，不行数个驯良嵌入的莫比乌斯环无法被不相交地嵌入进三维空间中。可是，这对非驯嵌入的莫比乌斯环是否相同建立仍无定论。

Frolkina参阅了他们和Bing等点集拓扑学家的作业，将定论延展到了非驯嵌入的莫比乌斯环上。她在论文平分解了嵌入的外表，并剖析了这些切片在空间平散布的办法。

Frolkina还在高维空间中研讨了类似问题。她考虑了n维（n3）的非定向流形，并指出：这些流形中只要可数的办法可以驯良地嵌入n+1维的空间中。

她的作业并没有包括这些高维情况下的非驯嵌入。可是，莫斯科斯泰克洛夫数学研讨所的数学家Sergey Melikhov审理了她的论文后，扩展了她的作业。Melikhov运用更笼统的代数办法消除了Frolkina的定论在更高维度中的驯良约束。二者的作业证明了不管是运用非驯仍是驯良嵌入，将不行数无限个非定向流形压缩到空间中都是绝无或许的。

点集拓扑的研讨已不及60年代风景，可是Melikhov以为在另一个活泼的拓扑研讨范畴纽结理论中，一些敞开性问题具有点集风格。深化了解非驯嵌入或许在这一范畴内非常有用。从某种意义上说，纽结理论中遍及存在着非驯性，由于大多数纽结都对错驯嵌在周围的空间中的。这些非驯嵌入招引了Frolkina，由于它们挑战了人类了解的极限。拓扑学家一般把他们的研讨限制在符合直觉的空间问题上，可是当你发现一个非驯的目标，或许一个与你的直觉相对立的目标时，转折点就呈现了。

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