祖冲之与圆周率

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祖冲之与圆周率

祖冲之不但精通天文、历法，他在数学方面的贡献，特别对 圆周率 研究的杰出成就，更是超越前代，在世界数学史上放射着异彩。

我们都知道圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比，这个比值是一个常数，现在通用希腊字母 兀 来表示。圆周率是一个永远除不尽的无穷小数，它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数学的进步，已计算出了小数点后两干多位数字的圆周率。

圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题；都要使用圆周率来推算，我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是 3 ，这当然很不精密，但一直被沿用到西汉。后来，随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃 3 这个不精确的圆周率值，他曾经采用过的圆周率是3.1547。东汉的张衡也算出圆周率为3.1622。这些数值比起n＝3当然有了很大的进步，但是还远远不够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大的进展。

用割圆术来求圆周率的方法，大致是这样：先作一个圆，再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2，那末半径就等于l。内接正六边形的一边一定等于半径，所以也等于1；它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长，用直径3去除，得到周长与直径的比兀＝6/2＝3，这就是古代n＝3的数值。但是这个数值是不正确的。我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。

如果我们把内接正六地形的边数加倍，改为内接正十二边形， 再用适当方法求出它的周校，那么我们就可以看出；这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，这个内接正十二边形曲面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小。从理论上来讲，如果内接正多边形的边数增加到无限多时，那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起；从此计算出来的内接无限正多边形的面积，也就和圆面积相等了人。不过事实上；我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多，（南北朝历史 www.lishi88.cn）而使这无暇正多边形的周界同圆周重合。只能有限度地增加内接正多边形的边数，使它的周界和圆周接近重合。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率，得数永远稍小于兀的真实数值。刘徽就是根据这个道理，从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，求得了圆周率是3.141024。把这个数化为分数，就是157/50。刘徽所求得的圆周率，后来被称为 微率 。他这种计算方法，实际上已具备了近代数学中的极限概念；这是我国古代关于圆周率的研究的二个光辉成就。

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书 律历志》的记载，祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率'他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是肭数（即不足的近似值），为3.1415926圆周率真值正好在盈晌两数之间。《隋书》只有这样简单的记载，没有具体说明他是用什么方法计算出来的；不过从当时的数学水平来看，除刘徽的割圆术外，还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法，把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时，便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。

盈肭两数可以列成不等式，如：3.1415926（肭）＜兀（真实的圆周率）＜3.1415927（盈）；这表明圆周率应在盈肭两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为 密率 。另一个是手（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为 约率 。在欧洲，直到1573年才由德国数学家握脱求出了355/113这个数值。因此，日本数学家三上义夫曾建议把355/113这个圆周率数值称为 祖率 ，来纪念这位中国的大数学家。

由于祖冲之所著的数学专著《缀术》已经失传《隋书》又没有具体地记载他求圆周率的方法，因此，我国研究祖国数学遗产的专家们，对于他求圆周率的方法还有不同的、见解。

有人认为祖冲之圆周率中的 肭数 。是用作圆的内接正多边形的方法求得的；而 盈数 则是用作圆的外切正多边形的方法求得的。祖冲之如果继续用刘徽的办法，从圆的内接亚六边形算起，逐次加倍边数，一直算到内接正24576边形时，它的各边长度总和只能逐次接近并较小于圆周的周长，这正多边形的面积也只能逐次接近并较小于圆面积，从此求出的圆周率为3.14159261，也只能小于圆周率的真实数值，这就是腕数。从祖冲之的数学水平来看，突破刘徽的方法，从外切正六边形算起，逐次试求圆周率，也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加，到正24576边形时，他所求得的圆周率应该是3.14159270208。这个数是用外切方法求得的。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度，这正多边形的面积也永远大于圆面积，所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字，就得出盈数。

祖冲之究竟是否同时用过内接和夕H3这两个方法求出圆周率的肭数相盈数，是没有确切史料可以证实的。但是采用这个办法所求出的月（肉）、盈两个数值，和祖冲之原来所求出的结果大体是一致的。所以有些数学史家认为祖冲之曾用过作圆的外切正多边形的方法求得圆周率，是很近情理的推想。

但是根据另一些数学史家的研究，盈、月（肉）两数也可以由计算圆内接正l2288边形和正24576边形的边长而得出来。不过这种计算比较难懂。这里不说了。

尽管说法有出入，但是祖冲之曾经求得 密率 ，并且明确他用上、下两限来说明圆周率这个数bxl近况值的范围，是可以肯定的。在一千五百年前，他有这样的成就和认识，真值得我。们钦佩。

在推算圆周率时，祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起；算到24576边时，就要把同一运算程序反复进行十二次，而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算，也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算，只能用筹码（小竹棍）来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细，没有坚韧不拔的毅力，是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神，是很值得推崇的。

祖冲之死后，他的儿子祖日（恒）继续父亲的研究，进一步发现了计算圆球体积的方法。

在我国古代数学著作《九章算术》中，曾列有计算圆球体积的公式，但很不精确。刘徽虽然曾经指出过它的错误，但究竞应当怎样计算，他也没有求得解决。经祖日（恒）刻苦钻研，终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算圆球体积的公式是：圆球体积＝兀/6D3（D代表球体直径）。这个公式一直到今天还被人们采用着。

祖冲之还曾写过《缀术》五卷，是一部内容极为精采的数学书，很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定：学员要学《缀术》四年；政府举行数学时，多从《缀术》中出题。旨来这部书曾经传到朝鲜和日本。可惜到了北宋中期，这部有介值的著作竟失传了。

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